Q&A: Kurvenschar, Tangente, Kartoffelsalat?
Kommentare(2) Frage von Marla: Kurvenschar, Tangente, Kartoffelsalat?
Bräuchte mal Hilfe:
Gegeben ist eine Kurvenschar durch die Funktionen fk mit fk(x)=ln(k*x), k muss eine reelle Zahl sein.
Zeigen Sie, dass es für jedes k eine Tangente an den Graphen der Funktion fk gibt, die durch A(0|2) verläuft.
Und wat nu? Ich dachte, ich nehm mal eine allgem. Tangentengleichung (T x0(x) = f’(x0)*(x-x0)+f(x0) ) und setze x0 = 0, allerdings ist die erste Ableitung von fk(x)= ln(k*x) an dieser Stelle undefiniert… Wie soll ich da rangehen? Und wieso liegt hier eigentlich Stroh?
Danke!
Melishe: Tausend Dank, hat echt geholfen..
Der andere Freak: Wieso hast du denn keinen Spaß am Leben? Hast du deine Kindheit mit dem großen Lexikon der Mathematik verbracht während die anderen Kinder fröhlich draußen gespielt haben?
Beste Antwort:
Answer by Melishe
A(0/2) ist nicht der Berührpunkt, es ist nur ein Punkt der Tangente.
f’(x) = 1/x, weil sich das k aus der Ableitung kürzt (Kettenregel), das gilt für jeden Punkt (x/y) der Funktion, also (x/[ln (k*x)]), also:
ln (k*x0) = 1/x0 * x0 + t oder ln (k*x0) = 1 + t –> t = ln (k*x0) – 1
also gilt für alle Tangentengleichungen an diese Kurvenschar:
y = 1/x0 * x + ln(k*x0) – 1
zu zeigen ist also, dass man ein x0 so finden kann, dass diese Gleichung für (0/2) eine Lösung hat:
2 = 1/x0*0 + ln (k*x0) – 1 –> 3 = ln (k*x0) –> e^3 = k* x0 –> x0 = e^3/k
Es gibt also für jedes erlaubte k ein derartiges x0 (k = 0 ist nicht erlaubt, weil ln0 nicht definiert ist).
Ich weiß nicht, wieso hier Stroh liegt, aber wenn du mir sagst, wie alt meine Großmutter ist, dann ruf ich sie an und frag – die weiß es bestimmt!
Antworten Sie selbst in den Kommentaren!
Cherie, könnte es sein, dass Du das ganze Problem nicht so recht ernst nimmst?
Was soll sonst der ganze Quatsch mit Kartoffelsalat und Stroh???
Ich finde, Du redest ziemlich viel Blech.
Die Frage ist doch, ob es immer eine Stelle xo, d.h. einen Punkt Po(xo | f(xo)) gibt, in dem die Tangente an den Graph der Funktion f_k durch A(0|2) geht.
k kann übrigens nicht jede beliebige reelle Zahl sein. k = 0 ist ausgeschlossen.
f_k(x) = ln(k*x) = ln k + ln x
Die beschriebene Kurvenschar ist also die ln-Funktion in Richtung der y-Achse verschoben.
Die Ableitung ist an jeder Stelle 1/|x|
Und nun solltest Du Dir eine Zeichnung machen.
Wenn die Tangente in xo an den Graph der Funktion durch A(2|0) geht, dann muss der Anstieg der Tangente mo = f ‘(xo) gleich (yo – 2) / xo sein.
Und nun musst Du die 1.Ableitung bilden (für positive k ist das 1/x, für negative k ist das – 1/x)
Dann für yo = f(xo) ausrechnen. Das Ganze gleichsetzen und nach xo auflösen.
Und siehe, das geht für jedes von 0 verschiedene k.
Hättest Du etwas ernsthafter geschrieben, wäre ich Dir gerne auch dabei behilflich.
So aber muss ich Dir sagen:
Wenn bei Dir Stroh liegt, dann liegt das daran, dass dumme Schafe immer in den Stall gehören.
@Schäfchen
Häh?
Woraus schließt Du denn, dass ausgerechnet icke sauertöpfisch wäre???
Schon in der 1. Klasse hat mir meine Lehrerin auf dem Zeugnis bescheinigt, ein aufgewecktes, fröhliches Kind zu sein. Daran hat sich bis heute nicht allzu viel geändert.
Trotzdem halte ich Kartoffelsalat und Stroh von Kurvenscharen fern.
Schönen Tach ooch noch!
Fallunterscheidung:
k > 0
f_k(x) = ln(k*x) = ln k + ln x (definiert für x > 0)
(f_k) ‘(x) = 1/x
k < 0
f_k(x) = ln(k*x) = ln[(-k)*(-x)] = ln ( - k) + ln ( - x) (definiert für x < 0)
(f_k) '(x) = - 1/x
Für x>0
1/x = [(ln k + ln x) - 2]/(x – 0)
1/x = (ln k + ln x – 2)/x | * x
1 = ln k + ln x – 2
3 = ln k + ln x
3 – ln k = ln x
e^(3 – ln k) = x
e³/k = x
Für x < 0 analog
Ist dir das Stroh vielleicht aus dem Kopf gefallen?